Загадка фліккер-шуму розгадана

Технології

Давним-давно, коли діоди були ще вакуумними, J. В. Johnson вперше спостерігав мерехтливий ефект у струмі електронних ламп, який він так і назвав - мерехтливим або фліккер-шумом. Минуло рівно 90 років відтоді, а фліккер-шум продовжують виявляти в найрізноманітніших системах - від напівпровідникових приладів до розливу річок, від фізики до соціології, але пояснити природу його походження так ніхто і не зміг.


Навіть радянський фільм є про фліккер-шум.

Ось як виглядає фліккер-шум:

Фізики, намагаючись пояснити природу даного явища, природно, шукають її у фізиці протікаючих процесів, хоча і називають фліккер-шум аномалією. Згадаймо, чого нас навчають в аспірантурі на курсах з «Історії та філософії науки»: аномалія (чим і є фліккер-шум) - це результат принципової нездатності наукової парадигми пояснити існуючі факти, тобто проблему необхідно шукати в теорії.

Теорією в цьому випадку є спектральні методи. Спробуємо розібратися з цими методами, може з ними щось не так?

За визначенням, фліккер-шум є сигналом, спектральна щільність потужності (або просто спектр потужності) якого описується формулою:

де K - розмірна константа, - безрозмірна константа, яка в більшості випадків близька до одиниці (у статті будемо розглядати тільки фліккер-шум з ^ = 1).

Подивимося на спектр потужності фліккер-шуму і спробуємо в ньому що-небудь побачити.

Видно, що потужність у смузі частот від 1 Гц до нескінченності дорівнює потужності від 0 до 1 Гц. Що такого особливого в цих двох смугах частот, що потужність в них однакова? Ці дві смуги пов'язує те, що їх межі є зворотними величинами один одного, тобто 0 дорівнює 1/нескінченність, а 1 дорівнює 1/1. А що таке зворотна величина від частоти? Це період.

Цікаво, а чому у спектральному аналізі використовується тільки спектральна щільність потужності за частотою, може варто спробувати знайти спектральну щільність потужності за періодом? На цьому місці всі говорять - «навіщо потрібно від періоду знаходити, від цього нічого не зміниться». Подивіться на малюнок.

З малюнка видно, що одній і тій же смузі частот відповідають різні смуги періодів. Значить, спектр потужності за періодом повинен бути зовсім іншої форми. Знайдемо зв'язок між спектральними щільностями потужності за частотою і за періодом. Елементарне прирощення потужності дорівнює:

де Sf (f) - спектральна щільність потужності за частотою (f-СПМ), ST (f) - спектральна щільність потужності за періодом (T-СПМ), T - період.

Знак мінуса в правій частині формули (2) означає, що позитивному прирощенню за частотою відповідає від'ємне прирощення за періодом.

З формули (2) отримаємо:

Як же тепер виглядатиме фліккер-шум? Знову те ж саме:

Фліккер-шум є єдиним сигналом, спектр потужності якого виглядає однаково як за частотою, так і за періодом. Якщо взяти, наприклад, білий шум, то його T-СПМ не буде вже рівномірною за періодом:

Який же тоді сигнал буде рівномірним за періодом? Та ось який:

Це броунівський шум, його T-СПМ і f-СПМ, відповідно, визначаються формулами:

Якщо представляти броунівський шум у вигляді суми гармонік, то зручніше використовувати тоді не ряд Фур'є, а ряд з рівномірним кроком по періоду:

де An - амплітуда n-ої гармоніки, T1 - період основної гармоніки, ^ n - фаза n-ої гармоніки.

Можна ще анімацію з підсумовуванням гармонік зробити:

Зі спектральною щільністю потужності по періоду можна ще довго експериментувати, але будемо рухатися далі.

Однаково рівномірним за частотою і за періодом, виходячи з формули (4), може бути тільки сигнал, всюди рівний нулю. Який же шум тоді вважати сигналом з рівномірним спектром? Спробуємо уявити сигнал з рівномірним спектром і при цьому не прив'язуватися до якогось кроку за частотою або за періодом.

Уявімо, що якийсь завод випускає генератори синусоїдальної напруги фіксованої частоти і фіксованої потужності. Всі генератори, що випускаються, мають абсолютну повторюваність за потужністю генерованого сигналу і ця потужність дорівнює P0. Однак повторюваність за частотою відсутня геть - частота у кожного генератора може бути дорівнює будь-якому значенню від нуля до нескінченності (хоч пГц, хоч ТГц). Тепер візьмемо дуже велику кількість таких генераторів і подамо сигнали з їх виходів на сумматор.

Науковою мовою

Тут розглядається такий процес з нескінченною енергією, що кожна його реалізація містить тільки одну гармоніку, при цьому, потужність кожної реалізації дорівнює P0, а частота може приймати будь-яке значення.

Очевидно, що сигнал на виході сумматора повинен мати рівномірний спектр. Який же буде у нього спектр потужності?

Кожен, хто знайомий з основами спектрального аналізу, відразу видасть відповідь - «це білий шум, оскільки він за визначенням є сигналом з рівномірним спектром». Давайте це перевіримо.

Для початку, потрібно якимось чином пов'язати потужність кожного генератора з його частотою. У цьому місці може виникнути питання - «що тут пов'язувати, якщо вона не залежить від частоти?», тоді зустрічне питання - від періоду вона теж не залежить? Як таку сполучну ланку можна використовувати енергію одного періоду синусоїди:

Потужність генератора рівна:

Тепер знайдемо функцію, яка буде показувати залежність потужності генераторів від їх частоти:

де ET (f) - залежність енергії періоду синусоїди генератора від частоти.

Потужність, що припадає на смугу частот df, дорівнюватиме:

Якщо подивимося на формули (2) і (14), то ми побачимо, що:

Чудово, тепер з формули (12) знайдемо спектр потужності:

Сигнал на виході сумматора - фліккер-шум. Колір цього шуму - рожевий (на мене, так він білий).

А тепер відповідь на питання 90-річної давності:

Механізм виникнення фліккер-шуму дуже простий: якщо об'єкт випромінює гармонійний сигнал довільної частоти з потужністю P0, то безліч таких об'єктів буде випромінювати сигнал зі спектром фліккер-шуму.

Справжній сигнал з рівномірним спектром є фліккер-шумом. Цікаво, що ж це за спектральна координата, щодо якої фліккер-шум виглядає рівномірним.

Припустимо, що синусоїди, які генеруються, розрізняються як за частотою, так і за потужністю, тоді формула (16) запишеться в наступному вигляді:

де P (f) - потужність реалізації з частотою f.

Оскільки для процесу з рівномірним спектром P (f) = P0, P (f) зручно розглядати як спектральну щільність потужності за деякою величиною  ( -СПМ):

За визначенням, спектральна щільність потужності повинна мати розмірність потужності, поділеної на розмірність спектральної координати. У даному випадку -СПМ має розмірність потужності, отже, її спектральна координата  повинна бути безрозмірною. Таким чином, -СПМ буде одночасно і спектральною щільністю потужності і залежністю потужності генератора від частоти. Потужність у смузі частот df повинна бути рівна потужності в смузі d :

З формул (17), (18) і (19), отримаємо:

і  Визначиться за формулою:

Для виключення логарифмування розмірної величини, приймемо:

де f0 - деяка частота, рівна 1 Гц,

тоді:

Абсолютно безглузду константу f0 мені довелося ввести через те, що логарифмування розмірної величини у фізиків викликає fatal error.

А тепер ми можемо уявити фліккер-шум у вигляді суми гармонік з однаковими амплітудами:

де An - амплітуда n-ої гармоніки, Ф1 - Ф основний гармоніки, ^ n - фаза n-ої гармоніки.

Зробимо анімацію:

Можна ще анімацію для однакових початкових фаз зробити:

Якщо об'єднаємо формули (4), (17), (18), то отримаємо красивий вираз:

Скажу ще кілька слів про квантову механіку.

Крім спектральної щільності потужності існує ще спектральна щільність енергії (СПЕ). Відмінність їх у тому, що СПЕ використовується для процесів з кінцевою енергією, а СПМ для процесів з нескінченною енергією. СПЕ характеризує енергію, що припадає на одиницю смуги частот. А що нам заважає зробити те саме для процесів з кінцевою енергією? СПЕ за різними спектральними координатами будуть пов'язані аналогічною формулою:

де Wf (f) - спектральна щільність енергії за частотою (f-СПЕ), WФ (Ф) - спектральна щільність енергії за  ( -СПЕ), WT (T) - спектральна щільність енергії за періодом (T-СПЕ).

Ліва частина формули (26) Вам нічого не нагадує? Цю формулу можна легко перетворити на формулу для енергії кванта.

Давайте уявимо, що розглянуті вище генератори видають сигнали з довільними частотами і довільними потужностями, але енергія цих сигналів кінцева. У природі подібні генератори, м'яко кажучи, дуже поширені - це електрони, а генеровані ними сигнали - це кванти енергії.

 -СПЕ на конкретній частоті дорівнює енергії:

Якщо прийняти f-СПЕ рівною постійною Планка, то формула (29) перетворюється на формулу для енергії кванта (28).

Оскільки постійна Планка не залежить від частоти, то її можна розглядати як рівномірну f-СПЕ процесу, кожна реалізація якого відповідає випромінюванню електроном одного кванта енергії з довільною частотою.

Якщо поділити f-СПЕ електромагнітної хвилі на постійну Планка, то можна отримати залежність числа квантів хвилі від частоти. І так далі...

Вивід: фліккер-шум - сигнал з рівномірним спектром, спектр якого спотворюється перетворенням Фур'є.

Буду радий будь-якій критиці за статтею.

Програма А

Якщо процес представлений функціями P (f) і ET (f):

то спектр потужності такого процесу можна знайти як похідну P (f) за частотою:

Елементарне прирощення тоді визначиться за формулою:

У цьому випадку з'являється функція, що дорівнює похідній залежності за період за частотою (з розмірністю Дж/Гц).

Розгляньмо процес ET (f):

Якщо ^ = 1, то процес, який розглядається, має рівномірний безперервний спектр (відповідно до формули (А.1)).

Визначимо за формулою (А.3) спектр потужності процесу, відповідного формулі (А.5):

Позначимо:

і отримаємо формулу (1):

Чим ближче порожній до одиниці, тим рівномірніший спектр, однак K при цьому зменшується. У межі, коли в = 1 виходить спектр потужності фліккер-шуму з K = 0.

Для спектру потужності по періоду виходить аналогічний результат.

Якщо ^ = 0, то спектр потужності буде відповідати білому шуму. З формул (А.5) і (А.1) видно, що процес з ^ = 0 (білий шум) не має рівномірного спектру:

Програма Б

Розгляньмо сітку частот з рівномірним кроком, що прагне до нуля. Оскільки частотний крок прагне до нуля, така сітка частот містить всі можливі частоти і визначені вони в точках n * df.

Розгляньмо також сітку періодів з рівномірним кроком, що прагне до нуля. Так як періодний крок прагне до нуля, то така сітка періодів містить в собі всі можливі періоди і визначені вони в точках n * dT.

Якщо зіставити сітку частот і сітку періодів, то можна побачити, що є періоди, яким неможливо зіставити частоту (потрапляють на інтервал від n * df до (n + 1) * df), і навпаки.

Якщо частоті неможливо зіставити період, а також якщо періоду неможливо зіставити частоту, то їх слід видалити з відповідної сітки, оскільки вони не існують. Тобто кожна сітка містить зайві частоти і періоди. Якщо видалити всі частоти і періоди, яким неможливо зіставити період і частоту, то отримаємо деякий новий нерівномірний крок по частоті, рівний нерівномірному кроку за періодом. Такий крок відповідає рівномірному кроку за логарифмом частоти, рівний за модулем рівномірного кроку за логарифмом періоду. Процесом, що володіє рівномірним за логарифмом частоти спектром, є фліккер-шум.

Програма В

Відомо, що дельта-функція має рівномірний спектр. Визначимо її спектральну щільність потужності за частотою і за періодом.

Коефіцієнти ряду Фур'є в комплексній формі визначаються за формулою:

де'1 - основна частота.

Якщо s (t) є функцією дельта, всі коефіцієнти Ck будуть приймати одне і те ж значення, незалежно від k, причому значення основної частоти може бути будь-яким.

Але ніщо не заважає використовувати замість послідовності цілих чисел будь-яку іншу послідовність. Якщо взяти, наприклад, послідовність чисел, зворотну цілим:

то формула (В.1) прийме вигляд

де T1 - основний період,

і буде отримано дискретний спектр з рівномірним кроком по періоду. У даному випадку для дельта-функції значення коефіцієнтів Ck також приймає одне і те ж значення, і значення періоду основної гармоніки також може бути будь-яким.

Якщо перейти до безперервних спектрів потужності за частотою і за періодом, то отримаємо, що і той та інший спектр потужності є незалежним від свого аргументу функцією, що суперечить формулі (4). Виходить, що спектр потужності дельта-функції залежить від методу його визначення.

Спробуємо визначити, які значення частот і періодів взагалі можливі. Частота і період можуть приймати будь-яке значення від 0 до нескінченності з двох причин:

1) Вісь часу безперервна - частоту можна збільшувати в нескінченне число разів, відповідно період можна зменшувати в нескінченне число разів.

2) Вісь часу нескінченна - частоту можна зменшувати в нескінченне число разів, відповідно період можна збільшувати в нескінченне число разів.

Визначимо спочатку спектр обмеженої в часі періодично продовженої і дискретної в тимчасовій області дельта-функції. Потім спрямуємо до нуля крок дискретизації і до нескінченності період повторення дельта-функції, в результаті отримаємо безперервний спектр дельта-функції.

Відомо, що періодичний у тимчасовій області сигнал має дискретний спектр. Спектр такого сигналу представляється у вигляді сітки частот, отриманих множенням частоти, що дорівнює f0 = 1/( період сигналу) на ціле число. У разі дельта-функції отримуємо набір гармоній з рівномірним кроком по частоті з однаковими амплітудами.

Відомо, що дискретний у тимчасовій області сигнал володіє періодичним спектром. Ніяких обмежень на можливі значення частот немає (крім умови, що частота в спектрі повинна бути менше частоти Найквіста для відновлення).

Розглянемо періодичні дискретні сигнали:

a) Якщо сигнал є дискретним, він визначений тільки в деяких конкретних точках: tn = n *  t, де n - ціле число, що означає крок дискретизації.

b) Якщо сигнал є періодичним, то всі його значення повторюються через період часу: s (t) = s (t + T), де T - період сигналу.

c) Якщо сигнал є дискретним і періодичним, то всі його значення повторюються через період часу, кратний кроку дискретизації s (tn) = s (tn + Td), де Td - період сигналу, що є сумою цілого числа. Це пояснюється тим, що сигнал з періодом, що складається з дробового числа ^ t, через період не повторить свого значення, оскільки потрапить на неіснуючий час. Виходить, що обмеження на можливі значення частот все ж є.

Наприклад, якщо гармонійний сигнал з частотою 1,5 Гц оцифрувати з частотою дискретизації 10 Гц, то виходить періодичний сигнал з частотою 0,5 Гц.

Таким чином, дискретний у часі сигнал може бути періодичним тільки з періодом, кратним кроком дискретизації ^ t, і спектр такого сигналу може складатися тільки з періодів Tn = n * ^ t, де n - ціле число. У разі дельта-функції отримуємо набір гармонік з рівномірним кроком по періоду з однаковими амплітудами.

Тепер визначимо спектр обмеженої в часі періодично продовженої і дискретної в часі дельта-функції. Такий спектр може складатися тільки з частот fn, кратних f0 і періодів Tn, кратних ^ t. Якщо якась із частот fn не збігається з жодною з 1/Tn, то це вже не частота fn, а якась інша з набору 1/Tn. Таким чином, якщо частоті fn не вдається зіставити жоден з періодів з набору Tn, то її слід вилучити з набору fn, оскільки сигнал з такою частотою нереалізуємо при заданому кроці дискретизації. Якщо видалити з сітки частот всі частоти, яким неможливо зіставити період, то отримуємо новий нерівномірний за частотою крок, рівний нерівномірному кроку за періодом. Таким нерівномірним кроком є рівномірний крок по логарифму частоти. Сигналом з рівномірним за логарифмом частоти спектром є фліккер-шум. Якщо спрямувати до нуля крок дискретизації і до нескінченності період повторення дельта-функцій, то отримуємо безперервний спектр дельта-функції, що збігається зі спектром фліккер-шуму.